Решение 4-ой задачи.

15.10.2020
Добавить комментарий

Задача.

Условие задачи 4

Ответ:

\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}\ ;\ \dfrac{1+ \sqrt{21}}{2}.\color{white}\bigg\vert

Решение. ( А что, так можно было?! )

Первый раз использование данной идеи (и в частности такое уравнение) я увидел в книге Ткачука “Математика абитуриенту”. Наверно среди моих читателей немногие  “с ходу” понимают о какой книге идёт речь, а даже если и понимают не все её держали в руках и тем более занимались по ней. Во времена когда я поступал на механико-математический факультет МГУ им.Ломоносова эта книга была настольной.., но не будем далеко удаляться от заявленной темы, а точнее от идеи, которая при первом ознакомлении вызывает именно “те ощущения”, о которых говорит заголовок.

По началу уравнение не кажется таким уж трудным, тем более для тех, кто хорошо умеет строить графики и представляет себе графики левой и правой частей данного уравнения (для тех же, кто пока еще не силен в построении таковых см.рис. далее).

То есть корни у данного уравнения есть и можно попытаться найти их как обычно в похожих ситуациях воспользовавшись стандартной равносильностью, а именно

    \[f(x)=\sqrt{g(x)}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & (f(x))^2=g(x), \\ & f(x)\geqslant 0. \end{aligned} \right.\]

Но почти сразу станет понятно, что рациональных корней уравнение

    \[\left(x^2-5\right )^2=x+5\color{white}\bigg\vert\]

    \[x^4-10x^2+25=x+5\color{white}\bigg\vert\]

    \[x^4-10x^2-x+20=0\color{white}\bigg\vert\]

не имеет и что делать дальше не очень то и понятно.

И тут “на сцене” появляется следующая идея:

Давайте рассмотрим данное уравнение, как квадратное относительно числа \color{white}\fbox{\normalcolor 5} (или можно заменить \color{white}\fbox{\normalcolor 5} на a, решая как квадратное относительно a в конце сделав обратную замену).

Тогда мы получаем:

    \[\left(x^2-5\right )^2=x+5\color{white}\bigg\vert\]

    \[x^4-2x^2\cdot 5+5^2=x+5 \Leftrightarrow 5^2-(1+2x^2)\cdot 5 +x^4-x=0\color{white}\bigg\vert\]

Вычисляем дискриминант:

    \[D=(1+2x^2)^2-4(x^4-x)=4x^4+4x^2+1-4x^4+4x=(2x+1)^2\color{white}\bigg\vert\]

Находим “корни”:

\left[\begin{aligned} & 5=\frac{2x^2+1+(2x+1)}{2}=x^2+x+1, \\ & 5=\frac{2x^2+1-(2x+1)}{2}=x^2-x. \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x^2+x-4=0, \\ & x^2-x-5=0. \end{aligned}\right.

и получаем ответ   \dfrac{-1\pm \sqrt{17}}{2}\ ;\ \dfrac{1\pm \sqrt{21}}{2}.\color{white}\bigg\vert

Стоп, откуда взялись четыре корня?

Действительно, хороший вопрос ведь исходя из соответствующих графиков видно, что данное уравнение имеет всего 2 корня. Можете сами быстро сообразить в чём дело? А всё просто, помните равносильность про которую мы ранее говорили, не стоит забывать про условие f(x)\geqslant 0, в нашем случаем получаем x^2-5\geqslant 0.\color{white}I^IКстати не обязательно явно возводить эти корни в квадрат и делать прочие преобразования, достаточно исходя из последней совокупности заметить, что

    \[\left[ \begin{aligned} & x^2-5=-x-1, \\ & x^2-5=x. \end{aligned} \right.\]

    \[-\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}-1=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}<0\ ;\ -\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}-1=\dfrac{\sqrt{17}-1}{2}>0\color{white}\bigg\vert\]

    \[\dfrac{1+\sqrt{21}}{2}>0\ ;\ \dfrac{1-\sqrt{21}}{2}<0\color{white}\bigg\vert\]

Таким образом окончательный ответ  \dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}\ ;\ \dfrac{1+ \sqrt{21}}{2}.\color{white}\bigg\vert

А что на счёт ответа на главный вопрос?

Давайте всё-таки поймем почему можно было “так решать”. На самом деле решая уравнение как квадратное относительно “чего-то” (в нашем случае относительно числа \color{white}\fbox{\normalcolor 5}, но есть и другие примеры), т.е. вычисляя дискриминант и пользуясь формулами для корней уравнения, мы фактически выделяем полный квадрат. Давайте посмотрим:

    \[5^2-(1+2x^2)\cdot 5 +x^4-x=0\color{white}\bigg\vert\]

    \[5^2-2\cdot 5\cdot \dfrac{1+2x^2}{2}+x^4-x=0\color{white}\bigg\vert\]

    \[5^2-2\cdot 5\cdot \dfrac{1+2x^2}{2}+\left(\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2+x^4-x=0\color{white}\bigg\vert\]

    \[\left(5^2-2\cdot 5\cdot \dfrac{1+2x^2}{2}+\left(\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2\right)-\left(\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2+x^4-x=0\color{white}\bigg\vert\]

    \[\left(5-\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2+x^4-x=0\color{white}\bigg\vert\]

    \[\left(5-\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2-\dfrac{1+4x^2+4x^4}{4}+\dfrac{4x^4-4x}{4}=0\color{white}\bigg\vert\]

    \[\left(5-\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2=\dfrac{1+4x^2+4x^4}{4}-\dfrac{4x^4-4x}{4}\color{white}\bigg\vert\]

    \[\left(5-\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2=\dfrac{1+4x+4x^2}{4}\color{white}\bigg\vert\]

    \[\left(5-\dfrac{1+2x^2}{2}\right)^2=\left(\dfrac{1+2x}{2}\right)^2\color{white}\bigg\vert\]

Начиная с этого момента становится понятно, что наше уравнение равносильно следующей совокупности:

\left[ \begin{aligned} & 5-\dfrac{1+2x^2}{2}=\dfrac{1+2x}{2}, \\ & 5-\dfrac{1+2x^2}{2}=-\dfrac{1+2x}{2}. \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &5=\dfrac{1+2x^2}{2}+\dfrac{1+2x}{2}=x^2+x+1, \\ & 5=\dfrac{1+2x^2}{2}-\dfrac{1+2x}{2}=x^2-x. \end{aligned} \right.

В точности такую совокупность мы получили ранее, решая наше уравнение непосредственно как квадратное относительно числа \color{white}\fbox{\normalcolor 5.}

 

Понравилась статья? Поделитесь с друзьями!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *