Решение 3-ей задачи.

Задача.

Ответ:

$x^4+y^4+z^4=\dfrac{25}{6}.\color{white}\bigg\vert$

Решение.

Воспользовавшись формулой

$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\color{white}\Big\vert$

получаем (с учётом 1-го и 2-го уравнения)

$xy+xz+yz=-\dfrac{1}{2}.\color{white}\bigg\vert$

Таким образом числа $x$ , $y$ и $z$ являются корнями уравнения

$\color{white}\Big\vert\normalcolor(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-(x+y+z)t^2+(xy+xz+yz)t-xyz=t^3-t^2-\dfrac{1}{2}t-xyz=0\color{white}\Big\vert$

значит при подстановке $x$ , $y$ и $z$ в последнее равенство получаем

$\left\{\begin{aligned}&x^3-x^2-\dfrac{1}{2}x-xyz=0 \\ &y^3-y^2-\dfrac{1}{2}y-xyz=0\\&z^3-z^2-\dfrac{1}{2}z-xyz=0\end{aligned}\right.$

Складывая все три равенства системы получаем

$\left(x^3+y^3+z^3\right)-\left(x^2+y^2+z^2\right)-\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)+3xyz=0\color{white}\Big\vert$

$3-2-\dfrac{1}{2}+3xyz=0\Rightarrow xyz=-\dfrac{1}{6}\color{white}\bigg\vert$

С учётом этого система принимает вид

$\left\{\begin{aligned}&x^3-x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{6}=0 \\ &y^3-y^2-\dfrac{1}{2}y-\dfrac{1}{6}=0\\&z^3-z^2-\dfrac{1}{2}z-\dfrac{1}{6}=0\end{aligned}\right.$

Умножив 1-ое уравнение системы на $x$ , 2-ое на $y$ , 3-ье на $z$ получим

$\left\{\begin{aligned}&x^4-x^3-\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{6}x=0 \\ &y^4-y^3-\dfrac{1}{2}y^2-\dfrac{1}{6}y=0\\&z^4-z^3-\dfrac{1}{2}z^2-\dfrac{1}{6}z=0\end{aligned}\right.$