Решение 6-ой задачи.

27.03.2021
Добавить комментарий

Задача.

Условие задачи 6

Решение.

Пусть \color{white}\fbox{\normalcolor \angle AEF=\alpha,} а \color{white}\fbox{\normalcolor \angle AOF=\beta} ( в дальнейшем покажем, что \color{white}\fbox{\normalcolor \alpha=\beta}).

\color{white}\fbox{\normalcolor E}– центр окружности описанной около \color{white}\fbox{\normalcolor \Delta ABD} следовательно \color{white}\fbox{\normalcolor AE=ED} (радиусы).

\color{white}\fbox{\normalcolor F}– центр окружности описанной около \color{white}\fbox{\normalcolor \Delta ACD} следовательно \color{white}\fbox{\normalcolor AF=FD} (радиусы).

Таким образом \color{white}\fbox{\normalcolor \Delta AEF=\Delta DEF} по трём сторонам, а значит \color{white}\fbox{\normalcolor \angle AEF=\angle DEF} и \color{white}\fbox{\normalcolor \angle AED=2\alpha.}

\color{white}\fbox{\normalcolor O}– центр окружности описанной около \color{white}\fbox{\normalcolor \Delta ABC} следовательно \color{white}\fbox{\normalcolor AO=OC} (радиусы).

\color{white}\fbox{\normalcolor F}– центр окружности описанной около \color{white}\fbox{\normalcolor \Delta ACD} следовательно \color{white}\fbox{\normalcolor AF=FC} (радиусы).

Таким образом \color{white}\fbox{\normalcolor \Delta AOF=\Delta COF} по трём сторонам, а значит \color{white}\fbox{\normalcolor \angle AOF=\angle COF} и \color{white}\fbox{\normalcolor \angle AOC=2\beta.}

Рассматривая \color{white}\fbox{\normalcolor \Delta ABD} заметим, что \color{white}\fbox{\normalcolor \angle ABD}– вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный \color{white}\fbox{\normalcolor \angle AED} следовательно \color{white}\fbox{\normalcolor \angle ABD=\dfrac{1}{2}\angle AED=\alpha.}

Аналогично с \color{white}\fbox{\normalcolor \Delta ABC} получаем, что \color{white}\fbox{\normalcolor \angle ABC}– вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный \color{white}\fbox{\normalcolor \angle AOC} следовательно \color{white}\fbox{\normalcolor \angle ABC=\dfrac{1}{2}\angle AOC=\beta.}

\color{white}\fbox{\normalcolor \angle ABD} и \color{white}\fbox{\normalcolor \angle ABC} это один и тот же угол, а значит \color{white}\fbox{\normalcolor \alpha=\beta,} а это, в свою очередь, означает, что около четырёхугольника \color{white}\fbox{\normalcolor AEOF} можно описать окружность.

 

Понравилась статья? Поделитесь с друзьями!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *