Решение 2-ой задачи.

Задача.

Ответ:

$\color{white}\fbox{\normalcolor \angle BDC=30^\circ}$ .

1-ое Решение.

Заметим, что $\color{white}\fbox{\normalcolor \angle BAC=\angle BCA=40^\circ.}$
Отметим на $\color{white}\fbox{\normalcolor AC}$ точку $\color{white}\fbox{\normalcolor E}$ так, чтобы $\color{white}\fbox{\normalcolor EC=BC}$ (соответственно $\color{white}\fbox{\normalcolor AE=AD).}$
$\color{white}\fbox{\normalcolor \Delta ADE}$ равнобедренный, следовательно $\color{white}\fbox{\normalcolor \angle ADE=\angle AED=20^\circ.}$
Пусть биссектриса угла $\color{white}\fbox{\normalcolor C}$ пересекает $\color{white}\fbox{\normalcolor AB}$ в точке $\color{white}\fbox{\normalcolor F.}$ Тогда $\color{white}\fbox{\normalcolor \Delta BCF=\Delta ECF}$ так как $\color{white}\fbox{\normalcolor BC=CE, CF}$ – общая, $\color{white}\fbox{\normalcolor \angle BCF=\angle ECF=20^\circ.}$
$\color{white}\fbox{\normalcolor \angle BFC=180^\circ - (100^\circ +20^\circ)=60^\circ=\angle EFC.}$
$\color{white}\fbox{\normalcolor \Delta FED=\Delta FEC}$ так как $\color{white}\fbox{\normalcolor EF}$ – общая, $\color{white}\fbox{\normalcolor \angle DFE=180^\circ - (60^\circ +60^\circ)=60^\circ=\angle EFC,}$ $\color{white}\fbox{\normalcolor \angle FED=80^\circ +20^\circ=100^\circ=\angle FEC,}$ а значит $\color{white}\fbox{\normalcolor DE=EC}$ .
Мы получили, что $\color{white}\fbox{\normalcolor \Delta DEC}$ равнобедренный с углом при вершине $\color{white}\fbox{\normalcolor E}$ равным $\color{white}\fbox{\normalcolor 180^\circ-20^\circ=160^\circ.}$ Таким образом $\color{white}\fbox{\normalcolor \angle ECD=\angle EDC=10^\circ,}$ а искомый $\color{white}\fbox{\normalcolor \angle BDC=10^\circ + 20^\circ=30^\circ.}$

2-ое Решение.

Заметим, что $\color{white}\fbox{\normalcolor \angle BAC=\angle BCA=40^\circ.}$
Отметим точку $\color{white}\fbox{\normalcolor E}$ так чтобы $\color{white}\fbox{\normalcolor \Delta BEC}$ был равносторонний (см.рис.).
$\color{white}\fbox{\normalcolor \Delta CAB=\Delta DBE}$ так как $\color{white}\fbox{\normalcolor BD=AC, AB=BE, \angle DBE=100^\circ-60^\circ=40^\circ=\angle CAB.}$ Значит $\color{white}\fbox{\normalcolor DE=BC.}$
Мы получаем, что точки $\color{white}\fbox{\normalcolor D, B, C}$ лежат на окружности радиуса $\color{white}\fbox{\normalcolor DE}$ с центром в точке $\color{white}\fbox{\normalcolor E,}$ а значит $\color{white}\fbox{\normalcolor \angle BDC=\dfrac{1}{2}\angle BEC=30^\circ}$ (вписанный угол равен половине центрального).